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TANTI DADI 1
proposta di Rita Poggesi per una lezione nel biennio

Nel calcolo delle probabilità è usato molto spesso il termine "aleatorio": se teniamo conto dell’etimologia latina di tale parola (nonché delle stesse origini storiche del calcolo delle probabilità) vediamo che il gioco dei dadi ha una grande importanza per tale disciplina. Sappiamo anche che il dado classico è a forma di cubo (anche se devo confessare che, facendo lezione in una classe la mattina successiva alla proiezione in T.V. del film "Proposta indecente", che mi era parso offrire una ottima occasione per cominciare a parlare del calcolo delle probabilità, ben pochi ragazzi hanno mostrato di aver posto molta attenzione alla forma dei dadi, evidentemente distratti da altre ... forme).

Sappiamo però dal corso di Geometria Solida svolto durante la scuola dell’obbligo che il cubo è solo uno dei cinque POLIEDRI REGOLARI: TETRAEDRO, ESAEDRO (CUBO), OTTAEDRO, DODECAEDRO, ICOSAEDRO. Tali solidi sono detti anche SOLIDI PLATONICI.

Proponiamo allora di invitare i ragazzi a giocare con dadi aventi la forma di tali poliedri: ciò permetterà di notare delle interessanti relazioni fra le probabilità dei vari eventi e di vedere come si possono generalizzare delle formule. I punti da evidenziare sono:

La regolarità dei dadi permette di garantire che le varie facce hanno la stessa probabilità di apparire (anche se si farà notare che nel caso del tetraedro il verbo "apparire" dovrà in realtà essere inteso come "scomparire", nel senso che la faccia del tetraedro da prendere in esame sarà quella appoggiata sul piano, e quindi coperta).

In ogni caso la probabilità di ciascuna faccia è uguale all’inverso del numero delle facce: indicato con N tale numero abbiamo p(N) = 1/N. Sarà anche opportuno a indicare ciascun solido con DN (in cui N è appunto il numero delle facce). Questa codifica potrà servire per generalizzare le formule e anche per scrivere programmi che simulino giochi con tali dadi.

 

Presentiamo la tabella dei risultati del lancio di due dadi del tipo D4. Consideriamo come evento la somma delle due facce. 

Notiamo che gli eventi possibili sono tutti i numeri da 2 a 8, e notiamo anche che tali risultati non sono equiprobabili: le loro probabilità infatti sono date dalla seguente tabella.

La tabella offre una prima occasione per chiedere ai ragazzi di notare le regolarità del legame fra ciascun risultato e la sua probabilità e per invitarli ad esprimere tale regolarità, eventualmente prima "a parole" e poi in linguaggio analitico.

Consideriamo ora due dadi D6 (i DADI!!!). La corrispondente tabella è la seguente

Gli eventi possibili sono tutti i numeri da 2 a 12, e tali risultati si presentano secondo la seguente tabella:

Si inviteranno i ragazzi a costruire per proprio conto - usando eventualmente il computer - le tabelle analoghe per il lancio di 2 dadi D8, D12, D20, e si cercheranno poi insieme le caratteristiche generali, che risulteranno essere le seguenti: se si considera il lancio di due dadi DN e si considera come evento la somma delle facce:

· gli eventi possibili sono tutti i numeri interi da 2 a 2N, e quindi sono 2N – 1;

· indicato con E uno di tali eventi, la sua probabilità P è determinabile mediante la seguente regola:

se E<=N , allora P = (N – 1) / N²

se E > N , allora P = (2N + 1 – E)/ N² (*)

Si possono naturalmente svolgere con i Dadi Platonici tutti gli esercizi abitualmente svolti con i Dadi per antonomasia: la cosa interessante è offrire ai ragazzi l’opportunità di trovare regolarità e formule generali svolgendo gli stessi esercizi in casi analoghi: un suggerimento potrebbe essere ad esempio quello di simulare il lancio di 3, 4, …Dadi Platonici uguali (simulazione che può essere fatta direttamente dallo studente mediante la compilazione di tabelle o affidata al computer), di determinare i risultati possibili dell’esperimento e le loro probabilità e di tracciare infine i grafici relativi a tali esperimenti facendo le opportune considerazioni. Altri esperimenti potranno consistere nella simulazione del lancio di Dadi Platonici diversi, ecc..

In relazione a quanto detto sopra sono disponibili alcuni programmi (in linguaggio Turbo Pascal 6.0) relativi al lancio di due Dadi Platonici uguali e all’esame della somma dei risultati: di essi il primo (Platone1) simula il lancio di due Dadi Platonici uguali scelti dall’utente, chiede quali sono il risultato previsto e la somma scommessa, comunica la probabilità di vincita e quella di perdita, comunica se l’utente ha vinto o perso, e determina la somma che l’utente deve ricevere, in caso di vincita, in modo che il gioco sia equo; il secondo (Platone2) simula il lancio di due Dadi Platonici uguali ripetuto un certo numero di volte (a scelta dell’utente) e confronta la frequenza relativa dei risultati con la loro probabilità teorica; il terzo infine (Tabelle) costruisce le tabelle dei risultati relativi al lancio di due Dadi Platonici uguali.

Alea = Dado. Tutti ricordano il celebre "alea Jacta est" di Cesare. A proposito, qual è l’espressione equivalente usata ai tavoli da gioco? al testo

Qui si può inserire un richiamo alla teoria geometrica dei solidi, e cioè la descrizione dei corpi in esame e la giustificazione del fatto che sono gli unici poliedri regolari esistenti. al testo

Qui si può inserire la riproduzione dei celebri disegni di Leonardo da Vinci per illustrare l’opera  De Divina Proportione di Luca Pacioli. al testo

Si può inserire un riferimento alle opere di Platone in cui vengono citate tali figure. al testo

Si può inserire (o richiamare) a questo punto la trattazione del concetto di speranza matematica e di gioco equo. al testo

Si tratta di una funzione "definita per casi": la sua presenza è una occasione per affrontare (o rivedere) le istruzioni condizionali di tipo IF…THEN…ELSE… al testo

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le vostre osservazioni

Ritratto di Luca Pacioli, di Jacopo da Barbari. Il poliedro di cristallo raffigurato in alto è un rombicubottaedro, mentre quello appoggiato in basso è un dodecaedro regolare solidi che furono ambedue studiati, insieme a molti altri, dal matematico Luca Pacioli.

Luca Pacioli (nato a Borgo San Sepolcro verso il 1445 e morto a Roma probabilmente nel 1514) redasse la prima enciclopedia a stampa della matematica e rivolse notevole attenzione al problema dell'applicazione dell'algebra alla geometria. È considerato il precursore dalla moderna ragioneria. I suoi studi sulle proporzioni e sulle proprietà dei solidi geometrici ebbero grande influsso sull'arte rinascimentale.

(fonte: G. Melzi - L. Tonolini, Corso di geometria per il liceo scientifico, vol. 2, Minerva Italica, Bergamo, 1986)