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La circonferenza,la parabola,l’ellisse e l’iperbole sono dette coniche poiché si possono ricavare dall’intersezione di un piano con due coni posti come una clessidra.
CIRCONFERENZA
La circonferenza è l’insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro ed è la sezione orizzontale di una clessidra.
PC=r Il segmento PC è il raggio della circonferenza.
__________ Eguagliamo la formula per calcolare il raggio,ossida la distanza
√(x-α)²+(y-β)²= r del centro C dal punto P,ed il raggio
Eleviamo entrambi i termini al quadrato e svolgiamo i quadrati
x²-2αx+α²+y²-2yβ+β²= r² interni alla radice ed abbiamo :
Ponendo:
a = -2α Þ α = -a/2
b = -2β Þ β = -b/2
______
c = α²+β²-r² Þ r = √α²+β²-c
Abbiamo che:
x²+y²+ax+by+c=0
Sapendo l’equazione di una circonferenza possiamo calcolare le coordinate del centro C tramite formule inverse.
ESEMPIO:
Se abbiamo un’equazione del tipo x²+y²+4x-6y+8=0 possiamo sapere che il centro C ha coordinate
C(-2;3)
_ E che il raggio è
r = √5 .
Condizioni affinché un’equazione di 2° grado si un’equazione di una circonferenza:
- I due termini di secondo grado devono avere lo stesso coefficiente.
- Manca il termine in xy.
- La quantità α²+β²-c non deve essere negativa.
Caratteristiche generali:
- Se manca il termine ax,il centro si trova sull’asse delle y;
- Se manca il termine by,il centro si trova sull’asse delle x;
- Se manca il termine c,la circonferenza passa per l’origine O;
- Se mancano i termini ax e by,il centro si trova sull’origine;
- Se mancano i termini ax e c,la circonferenza passa per l’origine O e ha il centro sull’asse y ed è tangente all’asse x;
- Se mancano i termini bx e c,la circonferenza passa per l’origine O e ha il centro sull’asse x ed è tangente all’asse y.
Una circonferenza di equazione x²+y²=1 è detta goniometrica poiché ha il centro in O ed ha il raggio uguale a 1.
FASCI DI CIRCONFERENZE
Se abbiamo due equazioni di circonferenze:
C:
x²+y²+ax+by+c=0
C¹:
x²+y²+a¹x+b¹y+c¹=0
l;l¹ € R Moltiplichiamo C per un valore l e C¹ per un altro valore l¹.
l(x²+y²+ax+by+c)=0
l¹(x²+y²+a¹x+b¹y+c¹)=0
Facciamo una combinazione lineare delle due equazioni (quando abbiamo una combinazione lineare tra due equazione di circonferenze si ha l’equazione di un’altra circonferenza)e abbiamo:
l(x²+y²+ax+by+c)+
l¹(x²+y²+a¹x+b¹y+c¹)=0
Svolgendo la moltiplicazione e mettendo in evidenza alcuni termini della combinazione abbiamo:
(l+l¹)x²+(l+l¹)y²+(la+l¹a¹)x+(lb+l¹b¹)y+(lc+l¹c¹)=0
l e l¹ sono dei parametri.Il parametro l deve essere diverso da 0 (l ≠ 0).
x²+y²+ax+by+c+l¹/l(x²+y²+a¹x+b¹y+c¹)=0
l¹/l
= t
Questa è l’equazione del fascio di circonferenze.
x²+y²+ax+by+c+t(x²+y²+a¹x+b¹y+c¹)=0