L'affascinante mondo dei frattali
 

Quanto è lunga la costa della Sardegna?  La domanda può sembrare banale ma la risposta, se non avete mai sentito parlare dei frattali, vi sorprenderà: la sua lunghezza è infinita!  Come si può arrivare a giustificare una simile affermazione?  Beh, diciamo subito che si tratta solo di una estrapolazione matematica, tuttavia il risultato lascia senza parole.  Proverò a spiegarlo gradualmente iniziando con un esempio.
 

La figura a lato mostra come generare il cosiddetto fiocco di neve di von Koch: si prende un segmento (fig. 1a), lo si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale con due segmentini uguali a quello eliminato (fig. 1b); ora si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro segmenti così ottenuti (fig. 1c) e si continua a ripeterla per un numero infinito di volte.  La curva che si ottiene dopo un numero infinito di iterazioni è una curva frattale e come tutte le curve frattali è dotata di affascinanti proprietà matematiche, facili da intuire ma, spesso, difficili da dimostrare. Se il nome "fiocco di neve" vi sembra poco appropriato per la curva di fig. 1, forse cambierete idea osservando ciò che si ottiene applicando il procedimento appena descritto ai lati di un triangolo.

Fig. 1 - Curva a fiocco di neve

Fig. 2 - Fiocco di neve di von Koch

Dare una definizione soddisfacente di questi stranissimi enti matematici non è affatto facile: non ci è riuscito nemmeno il loro scopritore!  In prima approssimazione possiamo affermare che una curva si dice frattale se ha la proprietà dell'autosimilitudine: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente; questo procedimento di "zoom" può proseguire all'infinito.  Da ciò derivano due curiose caratteristiche delle curve frattali:

• pur essendo continue non ammettono una tangente unica in alcun punto;
• presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita.

Torniamo ora alla nostra domanda iniziale: quanto è lunga la costa della Sardegna?  Ebbene, la risposta dipende dalla scala alla quale viene fatta la misurazione: una valutazione sommaria fornisce un risultato relativamente basso che però cresce a dismisura se si inizia a prendere in considerazione ogni più piccolo promontorio, ogni anfratto, ogni scoglio, ogni granello di sabbia.  Insomma un tratto di costa può essere visto come un tratto di curva frattale.
In realtà i frattali sono in grado di rappresentare egregiamente una gran varietà di oggetti e fenomeni della Natura: non solo un tratto di costa ma anche i rami o le radici di un albero, una nuvola, le ramificazioni di un fulmine e la dentellatura di una foglia ne sono alcuni esempi.

Figg. 3 e 4 - Rametti di felce frattale

L'insieme di Mandelbrot (d'ora in poi indicato con M) è un luogo geometrico del piano complesso; più precisamente è l'insieme dei punti di tale piano che soddisfano la legge di Mandelbrot:

Un punto c del piano complesso appartiene all'insieme se la successione definita ricorsivamente dalla formula z(n+1) = z(n)*z(n) + c
con z(0) = 0 non diverge.

Fig. 5 - L'insieme di Mandelbrot	Figg. 6 e 7 - Dettagli dell'insieme di Mandelbrot

La figura 5 mostra M nella sua interezza: i punti dell'insieme sono quelli di colore nero all'interno della grossa cardioide mentre gli altri colori sono usati per indicare le diverse velocità con cui la successione diverge, come spiegato più avanti.  Grazie alla proprietà dell'autosimilitudine, la frontiera di M si presta ad una interminabile e sorprendente esplorazione (figg. 6 e 7).  Nel caso del fiocco di neve, zoomando su un piccolo tratto di curva si visualizza una nuova curva uguale a quella di partenza; con M, invece, le cose sono un po' diverse: la proprietà dell'autosimilitudine vale in senso lato, infatti la frontiera di M è disseminata di un'infinità di minuscole cardioidi somiglianti ma non uguali a quella di partenza e le immagini che si possono ottenere sono infinitamente varie.  La principale differenza tra la grossa cardioide di fig. 5 e quelle minuscole che la circondano sta nei sottili filamenti che uniscono queste ultime al corpo principale dell'insieme.  I filamenti, simili a fulmini (fig. 7), sono interamente costituiti da punti appartenenti ad M ed infatti è possibile dimostrare che M è un insieme connesso.
 

Prima di spingerci oltre nell'esplorazione di M, cerchiamo di capire meglio come si ottengono questi disegni.  Vi sembrerà strano, ma è possibile generarli con un programma di poche righe!
Iniziamo ricordando qualche formula matematica (chiedo venia):

• Somma di due numeri complessi:
  (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
• Modulo di un numero complesso (ovvero distanza di un punto del piano dall'origine degli assi):
  mod(a + ib) = sqrt(a*a + b*b)
• Quadrato di un numero complesso:
  (a + ib)² = (a*a - b*b) + 2abi

In essa compare il quadrato di z.  Ebbene, secondo una proprietà dei numeri complessi, se un numero z ha modulo >=2, il suo quadrato avrà modulo ancora maggiore e quindi la successione sarà divergente.  Se invece la successione, dopo un certo numero massimo di iterazioni, non accenna a divergere, si dà per scontato che non divergerà mai, e si accetta il punto che la origina come membro dell'insieme.  La cosa non è corretta dal punto di vista teorico, ma, se il numero di iterazioni è abbastanza alto, la probabilità di commettere errori di attribuzione è ragionevolmente limitata.
Per quanto detto finora, l'algoritmo opera nel seguente modo: viene calcolato ripetutamente il valore di z mediante la formula sopra indicata, e, ogni volta, il modulo di z viene confrontato col valore 2.  Il procedimento si arresta quando la successione mostra di essere divergente (mod(z)>=2) oppure quando si giunge al numero massimo di iterazioni.  Infine viene attribuito il colore opportuno al pixel corrispondente al punto c considerato e si passa al punto, e al pixel, successivi.
Quanto appena detto è alla base delle poche righe di codice in linguaggio C, Pascal e QBasic che ho approntato.
Per velocizzare l'elaborazione ho adottato due semplici ma importanti accorgimenti.  Il primo è nella condizione di uscita del ciclo WHILE che applica iterativamente la legge di Mandelbrot: il numero complesso in esame (e cioè il modulo del valore corrente di z, pari a sqrt(a*a+b*b)) viene confrontato senza la radice con il valore 4 (anziché 2), risparmiando alla macchina l'inutile e dispendiosa operazione di radice.  Il secondo accorgimento si basa sulla constatazione che, per colorare un pixel appartenente all'insieme, è necessario un numero di calcoli molto maggiore che per gli altri pixel in quanto il ciclo WHILE viene eseguito MAXCONT volte (dove MAXCONT è il numero massimo di iterazioni prefissato).  Ho pensato, quindi, di individuare (per via empirica) un rettangolo di piano complesso tutto appartenente all'insieme: in questo modo è possibile evitare l'esecuzione del ciclo per tutti i pixel di questo rettangolo, che verranno immediatamente attribuiti all'insieme senza ulteriori calcoli.  L'istruzione IF..THEN posta subito prima del WHILE si occupa proprio di questo.
Per velocizzare ulteriormente il programma si potrebbe sfruttare la simmetria dell'insieme rispetto all'asse delle ascisse, ma ho preferito non seguire questa strada per non appesantire eccessivamente il listato.  In alternativa si potrebbe ridurre ulteriormente il valore della costante MAXCONT, ma questo andrebbe a scapito della precisione del disegno (il valore attuale è già molto basso).
Per "zoomare" su un particolare della figura basta modificare le costanti INFX, SUPX, INFY, SUPY e rilanciare il programma; queste costanti, infatti, definiscono il rettangolo di piano che deve essere visualizzato sullo schermo (sono le coordinate del primo e del quarto vertice).  Se i valori attribuiti a tali costanti sono tali che INFX>SUPX si ottiene un'immagine ribaltata attorno all'asse delle ordinate.  La capacità di ingrandimento del programma è limitata unicamente dalla precisione del tipo di dato in virgola mobile utilizzato.
 

I programmini che ho realizzato sono soltanto degli esempi: per le vostre esplorazioni vi raccomando l'ottimo programma freeware Fractint che può essere certamente considerato il programma DEFINITIVO sui frattali.  I suoi maggiori pregi sono:

• l'elevatissima velocità di esecuzione, ottenuta, tra l'altro, ricorrendo ad algoritmi che operano sugli interi anziché sui reali (quando è possibile);
• il vastissimo campionario di frattali visualizzabili;
• la semplicità con cui è possibile zoomare e variare i parametri di visualizzazione.

Figg. 8 e 9 - Particolari dell'insieme di Mandelbrot

Volete sapere quali sono le coordinate della porzione di piano visualizzata in fig. 8?  Basta caricare l'immagine in Fractint (tasto R) e premere Tab.  Volete vedere in quale punto di M si trovano queste coordinate?  Basta zoomare all'indietro (tasti Page Up e Ctrl-Enter) fino a visualizzare l'intera cardioide: il punto che apparirà al centro dello schermo sarà quello che sono andato ad esplorare.  Volete aumentare la risoluzione per vedere meglio l'immagine?  Basta premere il tasto Del e scegliere uno dei tanti modi video supportati: l'immagine verrà ricalcolata al volo (non si tratta di un semplice ingrandimento della bitmap).  Le immagini di questa pagina sono state create in modalità preview così da poterne regolare la risoluzione a piacere; il preview può essere disattivato dal menu Preview Options (tasto V).

Quando si esplora un particolare di M in profondità è importante regolare opportunamente il valore del numero massimo di iterazioni (quello che nei programmini dimostrativi era chiamato MAXCONT).  Le figure seguenti mostrano chiaramente l'effetto di un valore limite troppo basso.
 

Figg. 10 e 11 - Effetto di un numero massimo di iterazioni insufficiente

Dalla fig. 10 si ha l'impressione di aver trovato un sottoinsieme di M di forma approssimativamente circolare ma in realtà questo "buco nero" non esiste: nei punti di colore nero la successione diverge dopo un numero di iterazioni maggiore di quello fissato e quindi questi punti vengono erroneamente attribuiti ad M; è sufficiente raddoppiare il limite (da 1500 a 3000) per rendersi conto di come stanno realmente le cose (fig. 11).  Per evitare di prendere abbagli bisogna ricordarsi di aumentare progressivamente il numero limite di iterazioni al crescere del fattore di zoom.  Nel farlo, però, bisogna anche tenere presente che un limite troppo alto rallenta la generazione delle immagini, in particolare di quelle che contengono molti punti appartenenti ad M.  Nei piccoli sorgenti visti prima ho privilegiato la velocità a scapito della precisione ponendo MAXCONT=61: si tratta di un valore appena accettabile per ottenere una vista complessiva di M ma risulta del tutto insufficiente non appena si inizia a zoomare.
In Fractint il numero limite di iterazioni può essere modificato dal menu Basic Options (tasto X).

Come è facile immaginare, la scelta della palette (la tavolozza dei colori) è determinante per la resa estetica dell'immagine; per questo motivo Fractint fornisce numerose palette già pronte (ce ne sono anche alcune ottimizzate per l'uso con occhiali stereoscopici!).  Le figg. 6 e 7 usano la palette BLUE.MAP mentre la 8 e la 9 usano VOLCANO.MAP.  E' possibile applicare una nuova palette ad una immagine premendo C e poi L.
La scelta di una buona palette, tuttavia, non è sufficiente a garantire un buon risultato.  Le due immagini seguenti mostrano uno stesso particolare di M e usano la stessa palette (BLUE.MAP), ciò che cambia è il modo in cui i colori della palette vengono assegnati ai pixel.
 

Figg. 12 e 13 - Differenza tra palette lineare e logaritmica

Nel primo caso ho utilizzato il criterio predefinito: l'assegnazione lineare 1:1.  Questo criterio assegna a ciascun pixel il colore N, dove N è il numero di iterazioni effettuate; se N è maggiore del numero di colori disponibili si ricomincia a contare dal colore 0.  Il criterio lineare dà buoni risultati con immagini poco ingrandite ma diventa subito inadeguato al crescere del fattore di ingrandimento e del numero massimo di iterazioni.
Per la figura di destra, invece, ho usato il criterio logaritmico ottenendo un migliore contrasto.  E' possibile scegliere il criterio di assegnazione dal menu Basic Options (tasto X).

Fig. 14 - Immagine adatta al color cycling

Un'altra interessante funzione riguardante la palette è il color cycling ovvero una rotazione continua dei colori che in alcuni casi (immagini dalla forma spiraleggiante) ha degli effetti quasi ipnotici.  Il color cycling si attiva con il tasto C seguito da "+" o "-" per scegliere il verso della rotazione; è anche possibile modificarne la velocità con i tasti Up e Down.  Provatelo con l'immagine di fig. 14 che usa la palette CHROMA.MAP.

L'eseguibile FRACTINT.EXE, di grosse dimensioni, presenta al suo interno un ricco manuale consultabile a run-time; è anche possibile estrarre il manuale ed ottenere così un testo pronto per la stampa: basta lanciare il programma con il parametro MAKEDOC.  La lettura del manuale vi permetterà di apprendere tutte le altre interessanti funzionalità del programma (ad esempio la possibilità di creare stereogrammi) e di sfruttarlo al meglio per esplorare M e tutti gli altri frattali disponibili.  Buon viaggio!  ;-)
 

In biblioteca

• Mandelbrot Benoit B., Gli oggetti frattali: forma, caso e dimensione, Einaudi, 1987 (207 p.)
  Mandelbrot è lo scopritore dei frattali.  Questo è il libro in cui la parola frattale è stata usata per la prima volta.
• Mandelbrot Benoit B., La geometria della natura, 2^a ed., Theoria, 1990 (81 p.)
  E' la traduzione del famosissimo The Fractal Geometry of Nature.  Come suggerisce il titolo (soprattutto quello inglese), in questo libro Mandelbrot si propone di mostrare che il mondo in cui viviamo è pieno di frattali.
• Peitgen Heinz-Otto e Richter Peter H., La bellezza dei frattali: immagini di sistemi dinamici complessi, Bollati Boringhieri, 1989 (195 p.)

In rete

• sci.fractals FAQ
  Contiene molte interessanti spiegazioni, molti link e una ricca bibliografia commentata.
• Fractint Home Page
  Per essere sempre aggiornati su tutto ciò che riguarda questo eccellente strumento di esplorazione.
• Fractint v19.6 per DOS e Fractint v18.21 per Win3.x
  Le ultime versioni di Fractint (mirror italiani).
• An Introduction to Fractals by Paul Bourke
  Sui frattali c'è moltissimo da dire.  Qui trovate delle spiegazioni introduttive su alcuni argomenti che ho tralasciato.
• Fractals: a history, by J.P. Louvet
  Mandelbrot non ha fatto tutto da solo: alcuni matematici prima di lui, anche molto prima, hanno gettato le fondamenta sulle quali Mandelbrot ha costruito il suo edificio.
• Fractal album by J.P. Louvet
  Un'ampia raccolta di frattali di ogni tipo.
• Like new forms of life, new branches of mathematics and science don't appear from nowhere
  La storia dei frattali, prima e dopo Mandelbrot, così come appare nel manuale di Fractint.

Terza edizione, 31 marzo 1999 Copyright © 1998-1999 Pino Navato
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