Prof. CALOGERO GUGLIOTTA

Liceo Scientifico E.Fermi Menfi (Ag.)

TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DI LAGRANGE

E TEOREMA DI ROLLE

Il teorema del valor medio è una generalizzazione del teorema di Rolle fatta da Lagrange. Guarda questa applet.

Teorema di Rolle

Ipotesi

g(x) definita e continua nell’intervallo chiuso [a;b]

g(x) derivabile nell’intervallo aperto ]a;b[

g(a)=g(b)

Tesi

Esiste almeno un punto c interno all’intervallo aperto ]a;b[ tale che la derivata della funzione in esso si annulla g’(c)=0

Teorema di Lagrange

Ipotesi

f(x) definita e continua nell’intervallo chiuso [a;b]

f(x) derivabile nell’intervallo aperto ]a;b[

Tesi

Esiste almeno un punto c interno all’intervallo aperto ]a;b[ tale che risulti:

Per dimostrare il teorema di Lagrange si considera una funzione ausiliaria, che serve (per così dire) a "raddrizzare" la funzione originaria; basta per questo sottrarre alla funzione f(x) la retta di inclinazione di essa (la retta che unisce gli estremi a e b). La funzione risultante

avrà gli estremi di ascisse a e b agli stessi livelli e soddisfa le condizioni del teorema  di Rolle  nell’intervallo [a;b] (fai la verifica di questa asserzione);

deve esistere quindi un punto interno c in cui

g’(c)=0  →

c.v.d