Massimo Fantin Aprile 2001

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Scopo

 La carica elettrica e la legge di Coulomb

Elettrizzazione per strofinio, i conduttori e gli isolanti, elettrizzazione per contatto e per induzione. La carica elettrica, il Coulomb. Leggi di conservazione della carica. Legge di Coulomb. Confronto tra forze elettriche e forze gravitazionali. La costante dielettrica e la polarizzazione dei dielettrici.

 Campo elettrico, potenziale elettrico e fenomeni relativi

Il vettore campo elettrico. Il vettore campo elettrico generato da cariche fisse. Il concetto di campo in generale. Le linee di forza e rappresentazione grafica di un campo vettoriale, il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Il potenziale elettrico e la differenza di potenziale. Unità di misura del potenziale elettrico: il volt. La circuitazione del campo elettrostatico. Espressione del potenziale elettrico generato da una o più cariche puntiformi. Superfici equipotenziali. Il flusso di campo elettrico e il teorema di Gauss con le relative applicazioni: Campo elettrico in prossimità di una superficie piana, illimitata, campo elettrico in prossimità di un filo conduttore rettilineo, determinazione della legge di Coulomb dal teorema di Gauss. La distribuzione della carica elettrica nei corpi conduttori. La capacita elettrostatica. I condensatori. La capacità del condensatore. Dipendenza della capacità dalle caratteristiche geometriche e fisiche del condensatore. Lavoro di carica del condensatore. Le macchine elettrostatiche: l’elettroforo di Volta..

 Elettrodinamica

La corrente elettrica, L’intensità della corrente continua e la sua unità di misura: l’ampere. I circuiti elettrici e la legge di Ohm. Generatori di tensione: forza elettromotrice e resistenza interna. I principi di Kirchhoff. Conduttori in serie e in parallelo. Effetti prodotti da una corrente elettrica che passa in un circuito: effetto Joule. Energia elettrica e potenza elettrica.

 La conduzione nei metalli

Conduttori, semiconduttori, isolanti. La resistività e la seconda legge di Ohm. Reostati e potenziometri. Riscaldamento prodotto dalla corrente elettrica: legge di Joule dipendenza della resistività dalla temperatura. Scarica di un condensatore.

 Fenomeni magnetici fondamentali

I campi magnetici naturali ed artificiali, il campo magnetico, le linee di forza. Differenze tra campo elettrico e campo magnetico. Forze che si esercitano tra magneti, e correnti e viceversa: Esperienze di Oersted, Faraday e Ampere. Origine del campo magnetico. Intensità del campo magnetico, Forza esercitata da un campo magnetico si un filo percorso da coprente Il motore elettrico, l'amperometro e il voltmetro.. Il campo magnetico generato da un filo rettilineo percorso da corrente. La forza di Lorentz. Moto di una carica in un campo magnetico. Flusso del campo magnetico, Il teorema della circuitazione. Il campo magnetico generato da un solenoide. Proprietà magnetiche dei materiali. Il ciclo di isteresi. 

Induzione elettromagnetica

Le correnti indotte, Il ruolo del flusso del campo magnetico, La legge di Faraday-Newman, la legge di Lenz e le correnti di Foucault. L'autoinduzione. Energia del campo magnetico. L'alternatore e il trasformatore.

Le equazioni di Maxwell e le onde elettromagnetiche.

Il campo elettrico indotto, la corrente di spostamento, Le equazioni di Maxwell, Il circuito CL, le onde elettromagnetiche e la loro velocità, lo spettro elettromagnetico.

Strofinando con un panno di lana una bacchetta di ebanite, acquista la proprietà di attirare piccoli pezzetti di carta o oggetti leggeri.
Il fatto si spiega pensando che il lavoro fornito dalla nostra mano serva per vincere le forze elettriche tra le cariche di segno opposto, e poiché esiste una diversa elettronegatività tra i materiali, uno si cariche di segno negativo ( la bacchetta mentre l'altro si cariche di segno positivo ( il panno di lana).

Ci si chiede infine come una carica possa attirare oggetti neutri come la carta. Le molecole della carta si possono polarizzare ovvero la loro parte positiva si avvicina all'induttore (bacchetta) mentre la parte negativa si allontana: la forza di attrazione è maggiore rispetto a quella di repulsione perché esercitata tra cariche più vicine.

Due bacchette dello stesso materiale si respingono mentre due bacchette di materiali che si caricano di segno contrario si attirano.

I conduttori sono costituiti da quegli elementi ( metalli ) che rendono disponibile alcuni elettroni, detti appunto di conduzione, che possono circolare liberamente all'interno del conduttore da un atomo all'altro.

Gli elettroni degli isolanti sono legati strettamente ai loro nuclei e pertanto non sono in grado di muoversi da un atomo all'altro.

Elettrizzazione per contatto e per induzione.

Elettrizzare per contatto consiste nel mettere a contatto un conduttore carico con un altro scarico, la carica si distribuirà tra i due conduttori, se sono uguali per ragioni di simmetria la carica si distribuirà uniformaemente tra i due conduttori mentre se i conduttori sono diversi la carica si distribuirà diversamente nei due conduttori e nelle diverse zone di essi , in particolare si distribuirà prevalentemente nelle punte, e nelle zone di minore curvatura. Il problema matematico di calcolare trovare come sarà distribuita la carica è piuttosto difficile.

L'elettrizzazione per induzione è più interessante perché permette di caricare un conduttore mediante un altro conduttore (induttore ) senza scaricarlo: Si avvicina il conduttore da caricare all'induttore senza metterli a contatto, si mette a terra il conduttore per un istante, si allontana l'induttore, il conduttore si sarà caricato di segno contrario all'induttore.
Spiegazione: L'induttore avvicinato al conduttore esercita una forza di attrazione alle cariche di segno contrario che si avvicinano e viceversa una forza di repulsione verso le cariche dello stesso segno che si allontanano,
mettendo a terra il conduttore per un istante si scaricano dal esso le cariche dello stesso segno dell'induttore , rimangono nel conduttore solo le cariche di segno contrario.

Sul principio dell'elettrizzazione per induzione funziona l'elettroforo di Volta.

Il Coulomb è l'unità di misura della carica e può essere definito in diversi modi

Il Coulomb è la carica contenuta in 6.25 * 10¹⁸ elettroni

Il Coluomb è la carica che, posta nel vuoto ad un metro di distanza da una carica uguale, la respinge con una forza di
8.99 10 ⁹ Nw.

Il Coulomb è la carica che attraversa la sezione di un conduttore in un secondo se nel conduttore circola la corrente di un Ampere ( questa ultima è la definizione del S.I. nel quale si assume come quarta grandezza fondamentale l'intensità di corrente e non il Coulomb)

La somma algebrica delle cariche contenute in un conduttore isolato si conserva, questo significa che se un conduttore è inizialmente scarico e in esso si spostano delle cariche positive per induzione, la somma delle cariche positive e delle cariche negative dovrà essere ancora zero.

Tra due cariche Q, q si esercita una forza di attrazione, se le due cariche sono dello stesso segno o di repulsione se sono di segno contrario, questa forza è direttamente proporzionale all prodotto delle cariche ed è inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r.

 F=Qq /(4pe₀ r²)

La costante di proporzionalità è data da 1/(4pe₀) dove e ₀ è detta costante dielettrica del vuoto e vale

 e ₀ = 8.854 * 10 ^-12

Entrambe le forze decrescono con il quadrato della distanza,

La forza elettrica è proporzionale al quadrato delle cariche mentre le forze gravitazionali sono proporzionali al prodotto delle masse. 

Forze elettriche possono essere sia attrattive che repulsive mentre quelle gravitazionali sono solo attrattive

Se tra due cariche elettriche interponiamo un isolante ( dielettrico) la forza coulombiana di attrazione diminuisce a causa del fenomeno detto " Polarizzazione del dielettrico": Poiché le molecole del dielettrico si deformano per effetto della presenza delle due cariche avviene uno spostamento dei centri di carica positivo e negativo delle cariche del dielettrico, è come se tra le due cariche se ne interponessero altre due di segno contrario alla più vicina che provocherebbero una diminuzione della forza di attrazione.

Il rapporto tra la forza che si esercita nel vuoto e quella nel mezzo è detta "costante dielettrica relativa del mezzo", è un numero maggiore di uno ed è rappresentata da e_r.

La legge di Coulomb nel mezzo è espressa dalla formula:

In una zona dello spazio è presente un campo elettrico se mettendovi una carica elettrica di prova q essa è soggetta ad una forza F.
Per quantificare poi il campo elettrico E come grandezza vettoriale si avrà che la direzione di E è quella di F, il verso è quello di E se la carica q è positiva altrimenti è il verso contrario, mentre l'intensità è data da E =F/q

Si osserva che definendo in questo modo il campo E, questo non dipende dalla carica di prova q perché F e q sono direttamente proporzionali.

Una sola carica puntiforme genera intorno a sé un campo elettrico le cui linee di forza sono i raggi uscenti dalla carica, il verso è centrifugo se la carica è positiva, centripeto se la carica è negativa l'intensità è data da E = F/q, nella quale sostituendo ad F l'espressione coulombiana si ha: E = 1Q/(4p e₀ r²)

Da quanto detto si osserva che l'intensità del campo elettrico generato da una carica Q decresce con l'inverso del quadrato della distanza.

Se il campo è generato da più cariche per trovarne il valore complessivo si devono sommare vettorialmente i vettori campi elettrici generati da ciascuna delle cariche generatrici. L'operazione è in generale piuttosto complessa dal punto di vista matematico.

Il concetto di campo è un'idea matematica che ha diverse applicazioni soprattutto nelle applicazioni fisiche: Definiamo:

campo vettoriale tridimensionale una funzione da R³ in R³ ( campo elettrico, gravitazionale, campo magnetico ecc)

campo scalare tridimensionale è una funzione da R³ in R ( potenziale elettrico o gravitazionale )

[ R = insieme dei numeri reali, R³ = insieme delle terne di numeri reali ( i vettori tridimensionali) ]

Le linee di forza o meglio di campo (perché non necessariamente un campo deve essere un campo di forze) sono linee immaginarie orientate che servono per la rappresentazione grafica di un campo vettoriale ed hanno le seguenti proprietà:

Per ogni punto del campo passa una ed una sola linea di campo, ( le linee non si incontrano mai)

La direzione del vettore campo in un dato punto è tangente alla linea del campo che passa per quel punto.

Dove il campo è più intenso le linee sono più vicine fra di loro.

In particolare per il campo elettrico valgono anche le seguenti proprietà:

Le linee nascono dalle cariche positive ( o all'infinito ) e terminano nelle negative (o all'infinito)

Le linee escono sempre perpendicolari alla superficie di un conduttore immerso nel campo.

E' una generalizzazione del concetto di portata di un corso d'acqua per quanto riguarda il campo vettoriale delle velocità ( vedi libro di testo)

Supponiamo di voler calcolare il flusso del campo vettoriale E attraverso la superficie S

Dividiamo la superficie S in tanti elementi infinitesimi dS, per ciascuno di essi consideriamo il vettore dS ( sottolineiamo i vettori ) perpendicolare alla superficie e di intensità pari all'area della superficie, calcoliamo il prodotto scalare E . dS e sommiamo per tutta la superficie. Ciò che otteniamo è il flusso cercato F (S).

Il potenziale può essere definito in maniera analoga per il campo gravitazionale, e per il campo elettrico.
La definizione di potenziale è legata al punto di riferimento scelto ad arbitrio. In genere per il campo elettrico si sceglie convenzionalmente uguale a zero il potenziale dei punti all'infinito (molto lontani).

Supponiamo di trovarci in un campo elettrico. Definiamo potenziale di un punto A e lo indichiamo con V(A) il rapporto tra il lavoro che compiono le forze del campo per portare una carica q da A all'infinito e la carica q.

Anche il potenziale, come il campo elettrico è indipendente dalla scelta della carica di prova q.

Definiamo differenza di potenziale V(B) -V(A) tra due punti A e B il rapporto tra lavoro che devono compiere le forze del campo per portare la carica di prova q da A a B e la carica di prova q.

Il volt, unità di misura del potenziale è definito come il potenziale di un punto A se per portare da A all'infinito una carica unitaria ( di un Coulomb) il campo elettrico compie il lavoro di un Joule. Analogamente per la differenza di potenziale.

Anche la circuitazione come il flusso sono operazioni generali sui campi vettoriali e si possono definire anche per altri campi.

Sia g una curva chiusa orientata ( circuito ) nel campo vettoriale E. Suddividiamo g in tanti elementi infinitesimi dg , per ciascuno di essi calcoliamo il prodotto scalare E . dg e sommiamoli tutti. Quello che otteniamo è la circuitazione di E intorno al circuito g e viene indicato con il simbolo G _g (E).

Per il campo elettrostatico si ha che l'importantissimo teorema G _g (E) = 0 cioè la circuitazione del campo elettrostatico intorno ad una qualsiasi curva chiusa è sempre zero. Questo fatto si esprime dicendo che il campo E è conservativo ( cioè che dipende da un potenziale) e si spiega abbastanza facilmente pensando che la circuitazione di E non è altro che il lavoro che viene fatto per spostare una carica unitaria, ma questo lavoro è uguale alla differenza di potenziale tra i punti estremi, ma visto che gli estremi coincidono perché il circuito è chiuso la differenza di potenziale è zero, e pertanto sarà zero anche circuitazione.

Osserviamo che solo per il campo elettrostatico vale il suddetto teorema, se il campo è dovuto a cariche in movimento le cose sono più complesse e verranno studiate successivamente.

Se il campo è generato da una sola carica puntiforme per calcolare il potenziale in un punto ad una distanza r si deve calcolare la somma dei prodotti infinitesimi E . ds da r all'infinito. La cosa è possibile utilizzando il calcolo integrale e anche per via elementare ( vedi libro). Si ottiene che

A differenza del campo elettrico, il potenziale V decresce secondo l'inverso della distanza.

Come le linee di campo servono per rappresentare graficamente un campo così le superficie equipotenziali servono per rappresentare un potenziale.

Le superfici equipotenziali sono i luoghi dei punti dello spazio aventi lo stesso potenziale.

Le superfici equipotenziali corrispondono nell'ambito geografico alle curve di livello o "isoipse" che uniscono tutti i punti aventi lo stesso livello.

Proprietà delle superfici equipotenziali:

• ogni punto dello spazio appartiene ad una e una sola s. e.
• le s. e. sono perpendicolari alle linee del campo corrispondente (per esempio le s.e. del potenziale V corrispondono alle linee del campo elettrico E )
• dove il campo è più intenso le s.e. sono più ravvicinate e viceversa.

Il legame esistente tra un campo e il suo potenziale si esprime matematicamente: il campo è il gradiente di potenziale cambiato di segno

E = - Ñ V

Che significa che il campo nasce dalla variazione spaziale del potenziale. Se pensiamo al campo di forze gravitazionale e al potenziale gravitazionale che aumenta proporzionalmente al dislivello rispetto ad un riferimento e ad una pallina su di un piano inclinato, maggiore è l'inclinazione del piano maggiore sarà la forza gravitazionale che spinge la pallina verso il basso, maggiore inclinazione corrisponde ad una maggiore gradiente di potenziale.

Enunciato: Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa S, è uguale alla somma algebrica delle cariche contenute all'interno della superficie diviso per la costante dielettrica e _0.

La dimostrazione si può fare facilmente nelle ipotesi semplificatrici: che la superficie sia sferica, che all'interno ci sia una sola carica puntiforme Q al centro della sfera.

Si calcola il flusso di E attraverso la superficie sferica F _S(E)= 4p r² E mentre E = Q/(4p e₀ r²).

Sostituendo e semplificando si ha: F _S(E)= Q/e _0.

La dimostrazione si può fare anche nel caso generale.

Si considera una superficie piana illimitatamente grande nella quale è distribuita una carica uniformemente con densità superficiale s = D Q/D S.

Applichiamo il teorema di Gauss relativamente ad una superficie cilindrica con asse di simmetria perpendicolare alla superficie in modo che attraversi la superficie. Se S è l'area di base del cilindro la carica contenuta in esso sarà Q=Ss . mentre il flusso del campo attraverso le superficie sarà F (E) = 2 S E. Applicando queste formule al teorema di Gauss si ha:

2 S E = S s /e ₀ . semplificando e risolvendo rispetto ad e si ha:

Che si fa capire che vicino ad una superficie infinitamente grande il campo elettrico sarà costante e , per ragioni di simmetria avrà direzione perpendicolare alla superficie.

Ci si può chiedere: "quando mai avremo a che fare con superfici piane ed infinitamente grandi?"

Certamente le considerazioni fatte sono teoriche e valide dal punto di vista matematico in un caso limite tuttavia in molti casi una superficie può essere considerata piana e infinitamente grande se non ci allontaniamo troppo dalla superficie.

Per esempio tra le armature del condensatore, che sono molto vicine tra loro il campo è costante, vicino alla superficie terrestre che è sferica ma di raggio di curvatura molto grande rispetto al nostro modo di vedere il campo gravitazionale è considerato costante. Naturalmente se ci allontaniamo dalla superficie terrestre questa approssimazione non va più bene ed è necessari tener conto della sua curvatura.

Si può fare un ragionamento analogo rispetto a quello precedente per trovare che vicino ad un filo uniformemente carico l'intensità del campo elettrico decresce con l'inverso della distanza.

Si considera un filo indefinitamente lungo carico con densità lineare di carica r = D Q / D l.

Si considera un cilindro di altezza l e raggio di base r, coassiale col filo. La carica in esso contenuto sarà Q = r l mentre il flusso attraverso la sua superficie vale : F (E)= 2p r l E. Applicandoli al teorema di Gauss si ha:

2p r l E = r l/e ₀. semplificando e risolvendo rispetto ad E si ha:

 Si consideri una superficie sferica di raggio r con centro nella carica Q. Su questa superficie si applichi il teorema di Gauss: F _S(E)= Q/e_0.

Il flusso vale F (E) = 4pr ² E mentre l'unica carica contenuta nella superficie sferica è Q.

Sostituendo si ha: 4pr ² E = Q/e_0,

Semplificando e risolvendo in E si ha: E = Q/(4 pe₀ Q r²). Ricordando infine che E = F/q si ottiene esattamente

F=Qq/(4 pe₀ r²) ovvero la legge di Coulomb.

Le cariche nei conduttori sferici si distribuiscono  in modo uniforme, mentre in generali si accumulano nelle zone dove è maggiore la curvatura, in particolare nelle punte, questo perché le cariche dello stesso segno tendono a respingersi ovvero ad allontanarsi tra loro.

Definiamo capacità di un conduttore il rapporto tra la carica Q e il potenziale V:

La capacità è una caratteristica del conduttore infatti non dipende da Q o da V ma dal loro rapporto che risulta costante per ogni conduttore.

Capacità di una superficie sferica è C = Q / V = Q / 1/4pe_oQ/r = 4pe_o r.

La capacità di un conduttore isolato viene calcolata prendendo come riferimento l'infinito al quale si attribuisce potenziale nullo.

Per realizzare alte capacità si utilizzano due conduttori che separati da un isolante detto dielettrico permettono di immagazzinare notevoli quantità di energia elettrostatica. Un sistema così fatto è detto condensatore.

La capacità di un condensatore è data per definizione da C= Q / DV.

Consideriamo un condensatore a facce piane e parallele di superficie S, distanti fra di loro d. Tra le armature, il campo elettrico è costante e vale E =s /e ₀. La carica Q = s S e la d.d.p. V= E d.

C= Q/V = Q/ Ed = s S/ s /e ₀ d = e₀ S/d

Lavoro di carica del condensatore.

 Immaginiamo di caricare un condensatore di capacità C da 0 ad una differenza di potenziale V. Si osserva che per caricare il condensatore è necessario, via via che si carica, vincere una differenza di potenziale sempre maggiore e quindi compiere un lavoro sempre crescente.

Per esaminare il problema dal punto do vista quantitativo osserviamo che Q = C V, e che il lavoro che si deve compiere per spostare una carica da un punto ad un altro se tra questi esiste una d.d.p D V è dato da: D W = Q D V = C V D V, integrando da 0 a V si ha W=1/2 C V²

L'elettroforo di Volta è formato da una base resinosa, e da uno scudo metallico sorretto da un manico isolante. Si strofina la base con un panno in modo da caricarla per strofinio, si appoggia lo scudo, per induzione la cariche dello stesso segno della base si troveranno nella superficie superiore; queste cariche vengono messe a terra toccandolo per un istante con un dito, lo scudo rimane carica tutto dello stesso segno, si solleva lo scudo che risulta fortemente caricato. L'operazione può essere ripetuta senza necessariamente ricaricare la base.

E' un passaggio ordinato di cariche elettriche lungo un filo conduttore,

E' il rapporto tra la quantità di elettricità che attraversa una sezione del conduttore e il tempo impiegato

Unità di misura dell'intensità di corrente 1 Ampere = 1 Coulomb / 1 secondo

Si osserva che nel S.I. L'ampere è un'unita fondamentale.

In un circuito elettrico possiamo individuare un generatore che provvede a fornire energia agli altri componenti i quali a loro volta trasformano questa energia fornita dal generatore in altre forme ( calore, luce, suono ecc.).

I generatori di tensione provvedono a mantenere ai loro capi una certa differenza di potenziale forza elettromotrice f.e.m quasi costante, questa d.d.p. e limitata da una resistenza interna che non può essere eliminata e sulla quale avviene sempre una certa caduta di tensione che deve essere sottratta alla f.e.m. per calcolare la tensione effettiva misurabile ai capi del generatore useremo la formula : V= f.e.m. - R_i i.

Sono i principi fondamentali della teoria dei circuiti:

primo principio o legge del nodo: La somma algebrica delle correnti entranti in un nodo è uguale a zero.

Seconda legge o legge della maglia: La somma algebrica delle d.d.p. che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero.

I conduttori sono detti "in serie" se sono attraversati dalla stessa corrente mentre sono in parallelo se ad esse è applicata la stessa differenza di potenziale.

La resistenza equivalente ad una parte di circuito è quella resistenza che può essere sostituita alla stessa parte di circuito senza che nulla cambi.

Resistenze equivalente di una serie di due resistenze R₁ R₂

Resistenza equivalente serie R_s = R₁+R₂

Resistenza equivalente parallelo 1 / R_p = 1 / R₁ + 1 / R₂

 L'effetto principale prodotto da una corrente che circola in un filo è l'effetto Joule che consiste nella produzione di calore. Dal punto di vista quantitativo l'energia termica che si produce è data da W = V dq = V dq/dt *dt =V i t

 Si avrà la produzione di 1 Joule se in un conduttore al quale è stata applicata la d.d.p. di un volt circola la corrente di 1 Ampere per un secondo.

La potenza elettrica è data da W/t pertanto P = V i.

 Un resistore dissipa la potenza di 1 Watt se ad esso è applicata una tensione di 1 Volt e circola la corrente di 1 Ampere

 I conduttori sono i metalli i cui atomi mettono a disposizione i loro elettroni di conduzione

Gli isolanti hanno una struttura completa e non mettono a disposizione elettroni liberi

I semiconduttori sono elementi con quattro elettroni nell'orbitale più esterno e hanno le caratteristiche degli isolanti tuttavia se nel loro reticolo vengono introdotti elementi droganti trivalenti o pentavalenti sono in grado di condurre e vengono usati per la costruzione di componenti elettronici (diodi e transistori).

La resistività o resistenza specifica, indicata dalla lettera greca ro r ed è una caratteristica del materiale,. Se un conduttore li lunghezza l e sezione S ha resistenza R la sua resistività è data da: r = R S / l. L'unità di misura è W . m ( Ohm per metro)

Questa definizione si giustifica dalla seconda legge di Ohm secondo la quale la resistenza di un filo conduttore è data dal rapporto tra la sua lunghezza l e la sua sezione S moltiplicata per la resistività.

 R= r l/S

Il reostato è una resistenza variabile, in genere formato da un supporto cilindrico intorno al quale è avvolto un filo resistivo e da un cursore che striscia sul filo permettendo un contatto elettrico con una posizione arbitraria del filo. Nel reostato abbiamo tre contatti elettrici: le due estremità e il cursore.

Se in un circuito il generatore viene applicato all'entrata del reostato nei suoi estremi mentre il cursore e uno degli estremi sono in uscita si dice che il reostato è inserito a potenziometro. In questa configurazione il reostato viene usato come partitore di tensione, consentendo di prelevare dal generatore una tensione variabile da zero al massimo.

Se la corrente attraversa una resistenza questa si scalda e il calore prodotto è uguale al lavoro compiuto dalle cariche elettriche nel passare da un polo all'altro ovvero W = V Q = V i t = t V²/R

La resistività dipende dalla temperatura del conduttore secondo la legge r = r ₀(1+a Dt°)

COMPLEMENTI (argomento non essenziale)

Quando si studia la dipendenza della resistenza di un conduttore dalla temperatura bisogna anche considerare che oltre alla resistività cambiano anche le dimensioni geometriche del conduttore; si allunga e si allarga; l'allungamento produce un aumento di resistenza mentre allargamento produce una diminuzione.

Analizziamo il problema dal punto di vista matematico

R=r l/S.

dr /dt°= a r

dl/dt°=l l

dS/dt°=2l Sdt°

dR/dt =¶R/¶r * dr/dt° + ¶R/¶l * dl/dt° + ¶R/¶S * dS/dt° = l/S * ra + r /S * l l +r l/S² * 2l S= lr /S (a -l )

Da questa ultima formula si vede che se il coefficiente termica a è maggiore del coefficiente di dilatazione lineare l la resistenza aumenta all'aumentare della temperatura viceversa se a < l all'aumentare della temperatura diminuisce la resistenza.

Se un condensatore di capacità C caricato ad una certa d.d.p. V₀ viene scaricato su una resistenza R si avrà un passaggio di corrente per un certo tempo. Scopo di questo paragrafo è quello di descrivere l'andamento della tensione e della corrente nel tempo.

Scriviamo l'equazione di Kirchhoff alla maglia V+Ri =0 dove V è la tensione sul condensatore e i è l'intensità di corrente.

Dall'equazione del condensatore q = C V, derivando si ha dq/dt= C dV/dt ovvero i = C dV/dt, sostituendo nell'equazione di partenza si ha:

V+RC dV/dt=0 che può essere scritta anche:

V'= -1 /(RC) V

che è un'equazione differenziale di primo ordine le cui soluzioni sono:

V= A e^{-1/(RC) t} dove A è una costante da determinare in base alle condizioni iniziali. Nel nostro caso corrisponde al valore iniziale della tensione, pertanto la equazione della V è data da:

Il campo magnetico può essere dovuto a cause naturali ( vicinanza di magneti naturali come la magnetite o semplicemente in prossimità di un corpo celeste come la terra che si comporta come un grande magnete naturale)

Anche per il campo magnetico, come per il campo elettrico si può parlare di linee di campo ( o di forza)

Il campo elettrico è generato da cariche elettriche mentre il campo magnetico da magneti che sono dipoli inseparabili ( se spezziamo una calamita non separiamo i poli ma otteniamo due calamite) questo fa si che le linee di campo elettrico nascano dalle cariche e finiscano nelle cariche ( o all'infinito) mentre le linee di campo magnetico non hanno un inizio ed una fine ma sono sempre linee chiuse.

Oersted nel 1820 per primo trovò un legame tra correnti elettriche e campi magnetici, in particolare scoprì che una corrente elettrica genera un campo magnetico le cui linee sono circonferenze in piani perpendicolari e concentriche con il filo. Basta far passare la corrente in un filo rettilineo, porre vicino ad esso un ago magnetico ed osservare che la direzione dell'ago.

Se in un campo magnetico costante B immergiamo un filo percorso da corrente posto in direzione perpendicolare alla direzione del campo magnetico, notiamo che il filo è soggetto ad una forza la cui direzione è perpendicolare sia alla direzione del campo magnetico che alla direzione del filo, il verso è quello della regola della mano destra ( aperta la mano poniamo le dita nella direzione del campo magnetico, il pollice nella direzione della corrente la forza avrà la direzione del palmo ) mentre l'intensità è proporzionale al prodotto dell'intensità di B, dell'intensità di corrente e della lunghezza del filo

In termini vettoriali la forza è il prodotto vettoriale tra il prodotto della intensità per la lunghezza e B:

Se facciamo passare lungo due fili paralleli due correnti di intensità i₁, i₂ notiamo che tra i due fili si esercita una forza proporzionale al prodotto delle intensità di corrente. La forza è di attrazione se le correnti sono equiverse mentre è repulsiva se le correnti sono discordi in verso.

La spiegazione di questo fenomeno può essere data dai due esperimenti precedenti semplicemente supponendo che uno dei due fili generi un campo magnetico mentre l'altro ne subisca gli effetti.

Si può dare una spiegazione semplice all'origine del campo magnetico nella materia, si può supporre che gli atomi, costituiti da un nucleo e da elettroni che ruotano intorno, si comportino come dei piccoli magnetini, infatti ogni carica che descrive una traiettoria circolare genera un campo magnetico.

Si può pensare che le sostanze ferromagnetiche, che sono quelle che se vengono immerse in un campo magnetico ne amplificano gli effetti producendo a loro volva un forte campo magnetico, abbiano la proprietà di orientare i magnetini di cui sono costituiti nella direzione del campo magnetico aggiungendo al campo generante un campo proprio del magnete. Questo effetto può perdurare fin tanto che perdura il campo magnetico oppure può perdurare anche quando il campo magnetico esterno è cessato.

Per misurare l'intensità del campo magnetico immaginiamo di utilizzare un filo di lunghezza l percorso da corrente i in direzione perpendicolare alla direzione del campo B, misuriamo la forza F cui è soggetto il filo e per definizione diciamo che B = F/ (l i)

L'unità di misura del campo magnetico B è il Tesla ; un Tesla è quel campo magnetico che produce su un filo di lunghezza 1 metro e posto in direzione perpendicolare al campo B una forza pari a un Newton.

Se capovolgiamo il discorso del paragrafo precedente avremo che l'intensità del campo magnetico è data da: F = il B, se però il campo magnetico e la direzione della corrente non sono perpendicolari la forza è più debole perché contribuisce alla forza solo la componente del campo perpendicolare alla direzione della corrente pertanto la formula generale sarà

Il principio di funzionamento di un motore elettrico si basa sulla forza di interazione tra un campo magnetico statico e una corrente elettrica che circola negli avvolgimenti i quali sono soggetti ad una coppia che li fa ruotare. Per fare in modo che non si giunga al punto morto con l'interruzione del moto rotatorio la direzione della corrente negli avvolgimenti rotanti cambia viene modificata più volte in un giro in modo tale da avere la massima coppia.

L'amperometro elettrodinamico è sostanzialmente costituito da un magnete permanete che genera un campo magnetico costante nel quale si trova una bobina percorsa dalla corrente che vogliamo misurare. L'asse della bobina è perpendicolare alla direzione del campo magnetico. La bobina, per effetto della interazione tra campo magnetico e corrente elettrica è soggetta ad una coppia di forze proporzionale all'intensità di corrente. Una molla di richiamo esercita una coppia  in direzione contraria e proporzionale all'angolo di deviazione. Conclusione l'angolo della bobina alla quale è collegato solidamente l'indice è proporzionale all'intensità di corrente che circola nella bobina.

Intorno al filo percorso da corrente sorge un campo magnetico avente per direzione le tangenti alle circonferenze con centro sul filo e su piani perpendicolari al filo, L'intensità è proporzionale all'intensità di corrente e inversamente alla distanza dal filo secondo la legge di Biot Savart

Dove m ₀ viene detta permeabilità magnetica del vuoto e d è la distanza dal filo.

Se consideriamo un filo percorso da corrente, su di esso agisce una forza data da F = l i x B, la natura di questa forza può essere dovuta al fatto che le cariche in movimento all'interno del conduttore siano soggette ad una forza che le spinge lateralmente. Possiamo quindi supporre che una particella carica che si muove in un campo magnetico non parallelo alla direzione del moto sia soggetta ad una forza la cui direzione sia perpendicolare sia alla direzione del moto della particella che a quella del campo magnetico

F = dl dq/dt x B = dl/dt dq xB = v dq x B

Che è detta forza di Lorentz

Pertanto la forza che agisce sulla particella di carica dq è proporzionale alla velocità e all'intensità del campo magnetico B ed ha la direzione perpendicolare alla velocità.

Dalla formula precedente si ha che la forza cui è soggetta la carica è proporzionale alla velocità ed è perpendicolare alla direzione del moto, una forza di questo genere produce un moto circolare, per calcolarne il raggio si uguaglia la forza di Lorentz con la forza centripeta

v q B = v² / r, risolvendo in r si ha r = v / (qB).

ovvero il moto di una carica in un campo magnetico è un moto circolare sul piano perpendicolare alla direzione del campo magnetico con raggio proporzionale alla velocità e inversamente al prodotto q B.

Le linee del campo magnetico sono linee chiuse, non hanno sorgenti o pozzi come invece succede per le linee del campo elettrico, questo fatto, dal punto di vista matematico corrisponde a dire che il flusso di campo magnetico attraverso una superficie chiusa è uguale a zero.

Dimostriamo questo teorema di Gauss per il magnetismo nel caso particolare di una superficie cilindrica intorno al filo.

Chiaramente, poiché il campo magnetico ha direzione delle tangenti al cilindro i prodotto scalari tra l'elemento infinitesimo di superficie dS e B sono zero perché il vettore dS è perpendicolare alla superficie mentre dB è tangente, sia per la superficie laterale che per le basi. Se la superficie considerata non è un cilindro in ogni caso tutte le linee di campo entranti saranno anche uscenti dalla superficie pertanto la somma di tutti i prodotti B dS sarà zero.

 La circuitazione del campo magnetico è uguale alla somma algebrica delle correnti concatenate con il circuito, moltiplicate per la permeabilità magnetica:

Dimostriamo il teorema nel caso in cui ci sia una sola corrente i e il circuito sia sia una circonferenza di raggio r concentrica e perpendicolare al filo.

 G (B) = S B dl = B 2p r =m ₀ i /2p * 2p r = m ₀ i.

la dimostrazione può essere generalizzata al caso in cui il circuito magnetico non sia una circonferenza concentrica ma una qualunque curva e le correnti siano più di una.

All'interno di un solenoide percorso da corrente si avrà un campo magnetico che supponiamo costante. Per calcolarne l'intensità facciamo una ulteriore ipotesi semplificatrice: supponiamo che all'esterno del solenoide il campo magnetico sia nullo. Se applichiamo il teorema della circuitazione considerando un circuito magnetico rettangolare che giri tra l'interno e l'esterno del solenoide racchiudendo tutti gli N fili delle spire del solenoide di lunghezza l, avremo che la circuitazione sarà: B.l perché all'esterno B = 0, applicando il teorema avremo B.l = m ₀ N i, da cui segue che l'intensità del campo magnetico B all'interno del solenoide vale:

È proporzionale al numero delle spire, all'intensità di corrente e inversamente alla lunghezza del solenoide.

I materiali possono essere di tre tipi: diamagnetici, paramagnetici e ferromagnetici.

Diamagnetici hanno una permeabilità magnetica leggermente inferiore a quella del vuoto,

Paramagnetici hanno una permeabilità leggermente maggiore di quella del vuoto

Ferromagnetici hanno una permeabilità molto maggiore di quella del vuoto.

Se poniamo all'interno di un solenoide percorso da corrente un nucleo ferromagnetico, il campo magnetico generato dal passaggio della corrente viene amplificato dal fatto che i magneti elementari di cui è costituito il materiale ferromagnetico si orientano secondo la direzione del campo. Pertanto possiamo mettere a confronto i valori del campo inducente che sono proporzionali all'intensità di corrente con i valori del campo totale B. Notiamo che se aumentiamo l'intensità della corrente i nel solenoide inizialmente i valori del campo B sono proporzionali a i, se però aumentano ulteriormente i valori dell'intensità di corrente i ci accorgiamo che l'aumento di B si riduce, perché il materiale ferromagnetico è già quasi tutto orientato nella direzione del campo inducente ( si dice che il materiale ferromagnetico è in saturazione), se a questo punto si riduce l'intensità della corrente si avrà che anche riportando a zero l'intensità della corrente rimarrà una magnetizzazione residua che si annullerà solo se si applicherà un campo contrari appropriato. Applicando quindi una corrente sinusoidale nel tempo avremo che i valori del campo B non saranno in fase con i valori della corrente, ma saranno in ritardo ottenendo il tipico diagramma del ciclo d'isteresi. Viene detta isteresi magnetica perché isteresi significa ritardo.

Se facciamo attraversare un solenoide ai cui capi sia stato collegato un amperometro da un campo magnetico variabile nel tempo notiamo che è attraversato da corrente che viene detta corrente indotta. Il fenomeno prende il nome di induzione elettromagnetica

Per studiate il fenomeno dal punto di vista qualitativo e alla luce di quanto studiato iniziamo col l'osservare che se un filo immerso in un campo magnetico perpendicolare al filo, viene trascinato in direzione perpendicolare sia al filo che al campo magnetico, ai capi del filo nasce una differenza di potenziale V = v l B dove v l B sono rispettivamente la velocità di trascinamento, la lunghezza del filo e l'intensità del campo magnetico. La spiegazione del fatto segue dalla forza di Lorentz alla quale sono soggette le cariche contenute nel filo F = v q B,
dV=dW/dq = F dx/dq = v dq B dx /dq = v B dx. Integrando su tutta la lunghezza del filo si ha V = v l B.

Supponiamo ora di considerare una spira rettangolare di altezza l costante e base x variabile immersa nel campo magnetico B costante. Avremo che il flusso di B che attraversa la spira sarà dato da

F (B) = x l B, pertanto dF (B) /dt= dx/dt l B=v l B esattamente uguale alla differenza di potenziale che nasce sui lati mobili della spira.

Da quanto osservato nel par. precedente si ha che se il flusso concatenato con una spira è variabile nel tempo sorge una forza elettromotrice nella spira proporzionale alla derivata del flusso magnetico concatenato con la spira:

V = -dF (B)/dt

Il segno meno sta ad indicare che la d.d.p. che sorge nella spira, è tale che se produce una corrente indotta questa a sua volta produrrà un flusso magnetico che tenderà ad opporsi alla variazione di flusso che lo ha generato (legge di Lenz).

Se sottoponiamo un conduttore ad un campo magnetico sinusoidale fortemente variabile nel tempo ( a frequenza piuttosto alta), ciascuna porzione circolare del conduttore può essere pensato come un circuito elettrico nel quale circola una corrente indotta dalla variazione del flusso ad esso concatenato, queste correnti sono dette correnti di Foucault o correnti parassite quando si verificano nei nuclei ferromagnetici dei trasformatori e delle macchine elettriche. Le correnti di Foucault possono essere molto intense e provocare un forte riscaldamento del metallo tanto che su questo principio si basa il funzionamento dei forni ad induzione.

Su un principio analogo si basa anche il freno elettromagnetico: Tra due poli di un'elettrocalamita facciamo oscillare un pendolo metallico discoidale. Se si alimenta l'elettrocalamita vediamo che al passaggio tra i poli il pendolo subisce un fortissimo rallentamento. Questo fenomeno è dovuto al fatto che passando attraverso il campo magnetico avviene una variazione di flusso concatenato la quale induce delle correnti indotte, queste correnti a loro volta interagiscono col campo magnetico producendo una forza in direzione contraria rispetto alla velocità.

Visto che ogni conduttore percorso da corrente genera intorno a sé un campo magnetico proporzionale alla corrente possiamo supporre che il flusso generato dipenda dal circuito ovvero

F (B) = L i dove il coefficiente L è costante per un dato circuito e viene detta induttanza

Derivando la formula di sopra si ha V= -dF (B)/dt = - L di/dt che esprime il fatto che ai capi di un solenoide la differenza di potenziale è, a parte il segno, proporionale alla derivata dell'intensità di corrente che circola nel filo. Questo significa che se la corrente è costante la d.d.p è zero, mentre se si ha una variazione improvvisa di d.d.p. sorge ai capi dell'induttanza una forte d.d.p.

Calcoliamo il valore di L per un solenoide:

Da quanto visto, il valore di B all'interno del solenoide è dato da:

B = m ₀ N i / l pertanto il flusso concatenato sarà dato da

F (B) = N S B = N S m ₀ N i / l. Dividendo per i otteniamo il valore di L per un solenoide:

L'induttanza è proporzionale alla sezione del solenoide, al quadrato del numero delle spire, inversamente alla lunghezza.

 Energia del campo magnetico.

Un solenoide, come un condensatore immagazzina energia tuttavia mentre il condensatore immagazzina energia elettrostatica il solenoide immagazzina energia magnetica

E = S V i dt = S L i di/dt dt =L S i di =1/2 L i²

L'energia immagazzinata è proporzionale al quadrato della corrente che in essa circola.

L'alternatore e il trasformatore.

L'alternatore è essenzialmente formato da una spira (o un avvolgimento di spire) che ruota in un campo magnetico uniforme, per effetto dell'induzione elettromagnetica nella spira si genera una d.d.p. sinusoidale nel tempo, se le estremità di questa spira sono collegate elettricamente all'esterno tramite due contatti striscianti è possibile prelevare all'esterno la corrente alternata che si è generata nella spira.

Il trasformatore è un apparecchio che è in grado di trasformare una corrente sinusoidale in un'altra analoga. Quello che cambia sono i valori dell'intensità di corrente o della tensione, in modo tale che il prodotto V i rimanga costante. È costituito da un nucleo ferromagnetico intorno al quale sono avvolti due circuiti dette primario e secondario.

Si fa circolare corrente nel primario e si ottiene una corrente indotta nel secondario; Detti N1 ed N2 i numeri delle spire nel primario e nel secondario, il rapporto tra le d.d.p .è uguale al rapporto tra le spire e al rapporto inverso delle intensità di corrente.

Consideriamo un condensatore alimentato da corrente alternata e calcoliamo la circuitazione lungo una curva chiusa che gira intorno al condensatore. Maxwell si accorse che se applichiamo il teorema della circuitazione di Ampere avremo che la G (B) è uguale alla corrente concatenata se consideriamo una delle superfici che si appoggiano al circuito e che attraversa il filo, mentre se consideriamo una superficie che attraversa il dielettrico del condensatore la circuitazione sarà nulla, pertanto, visto che la circuitazione deve avere un solo valore dovremo aggiungere un termine che terrà conto del fatto che mentre nel filo esiste una corrente diversa da zero nel dielettrico del condensatore ci sarà un campo elettrico variabile.

Si avrà che F (E) = s /e ₀ S = Q/S /e ₀ S = Q/e ₀ pertanto:

dF (E)/dt = 1/e ₀ dQ/dt = i /e _0.

E quindi

i = e ₀ dF (E)/dt.

Maxwell penso pertanto di aggiungere nell'equazione di Ampere alla corrente la " corrente di spostamento" e ₀ dF (E)/dt.

Pertanto l'equazione diventa:

Maxwell riunì tutti i lavori che erano stati fatti nel corso del'ottocento sull'elettromagnetismo nelle sue quattro equazioni :

IL circuito CL detto anche oscillante perché essendo in esso presente un componente induttivo L e uno capacitivo l'energia immagazzinata in forma magnetica si trasforma in forma elettrostatica e viceversa generando un'oscillazione di corrente e di tensione elettriche.

Scriviamo l'equazione di Kirchoff alla maglia in un circuito che contiene solo un induttore L e un condensatore C avremo:

V_L=V_C

Poiché V_L= - L di/dt i _C = C dV/dt, sostituendo si ha:

V = -LC dV/dt che è un'equazione differenziale nella equazione incognita V le cui soluzioni sono date da:

V(t) = A cos( w t + j ) dove A è una costante arbitraria e w ² = LC.

Per concludere possiamo dire che in un circuito LC si ha una oscillazione armonica di frequenza f =1/ ( 2p Ö (LC) ).

le equazioni di Maxwell, nel vuoto, in assenza di correnti e di cariche si riducono a:

dalla simmetria dei due campi, con operazioni matematiche un po' complesse ma sostanzialmente simili a quelle fatte nel caso del circuito CL, è possibile dimostrare che da queste equazioni si hanno come soluzioni delle funzioni d'onda capaci di propagarsi nello spazio la cui velocità è data da v = 1/ Ö (e₀m ₀)

Si può pensare che per generare un'onda occorra un circuito oscillante in grado di far scorrere la corrente scorre in un filo che costituisce l'antenna trasmittente, intorno a questo filo si genera un campo magnetico variabile, il campo magnetico variabile genera a sua volta un campo elettrico pure variabile, il quale a sua volta genera un campo magnetico, questi campi, si sostengono reciprocamente e possono così propagarsi nel vuoto fino a grandissime distanze: le onde elettromagnetiche

Di onde elettromagnetiche ce ne sono di tanti tipi secondo la loro lunghezza d'onda a partire dalle più lunghe fino alle più corte:

Informazioni sullo spettro si trovano su tutti i libri di fisica.