di Massimo Fantin marzo 2001

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Uso dei programmi di simulazione 1 e 2

Programma di simulazione 1 per la risoluzione dell'equazione y'' = F(x, y , y')

Programma di simulazione 2 per la risoluzione del sistema x''=F(x,y,x',y',t), y''=G(x,y,x',y',t)

Esempi 1

Esempi 2

Il programma di simulazione è in grado di tracciare il grafico delle funzioni soluzioni di una equazione differenziale del tipo y''_x = F(x,y,y') con le condizioni iniziali y(x0) = y0, y'(x0) = y'0.

Per introdurre la funzione F si scrive nella finestra in alto utilizzando la stessa sintassi del programma Funzioni con la sola differenza che per indicare la derivata y' si deve scrivere il simbolo v.

Per introdurre le condizioni iniziali si trascina l'origine della retta blu nella posizione iniziale e si orienta la retta nella posizione della tangente al valor iniziale. I valori iniziali vengono scritti in alto. Dopo di che con il tasto disegna viene rappresentata la soluzione cercata.

Il programma di simulazione è in grado di tracciare, assegnate le condizioni iniziali x₀,y₀,x'₀, y'₀, la traiettoria nel piano della risoluzione del sistema
x''_t = F(x,y,x',y',t); y''_t = G(x,y,x',y',t) e, in alternativa di osservare il moto, rispetto al tempo t della stessa soluzione

Per introdurre le funzioni F e G si scrivono nelle finestre in alto utilizzando le stesse notazioni del programma Funzioni, facendo attenzione che la variabile indipendente, a differenza del programma di simulazione 1, è t e che le x' e y' sono rappresentate rispettivamente dai simboli v e w.

Per introdurre le condizioni iniziali si modifica, trascinando con il mouse, sia la punta che la coda del vettore blu. La posizione della coda è la posizione iniziale (x₀,y₀) mentre il vettore rappresenta la velocità iniziale(v,w).

I tasti lento veloce modificano la precisione ma anche il tempo di calcolo.

Il tasto moto/traiet permette di passare dalla rappresentazione della traiettoria a quella del moto del punto, in questo caso insieme alla posizione vengono rappresentati anche i vettori velocità in rosso e accelerazione in verde.

I tasti azzera, stop e via vengono utilizzarti in modalità moto per far ripartire il mobile, azzerando il tempo, fermarlo e farlo ripartire.

Il tasto parametro, consente di introdurre nelle funzioni in alto un parametro k e quindi di tracciare famiglie di curve dipendenti dal parametro k.

1) Soluzione dell'equazione differenziale y'' = - y' - k y

Per rappresentare le soluzioni di questa famiglia di equazioni si aziona parametro e si scrive nella finestra -v-k*y

Variando i valori di k si possono trovare tutti i tipi di soluzione:

k < 0 soluzione instabile per valori crescenti di x

k = 0 funzione esponenziale dipendente da una sola costante ( degenere in un'equazione di primo ordine)

0 < k < 1 / 4 soluzione ipercritica stabile per valori crescenti di x ( somma di due esponenziali)

k =1/4 soluzione critica

k > 4 soluzione oscillatoria smorzata

2) Soluzione dell'equazione differenziale y''= -k y

Per rappresentare le soluzioni si procede some sopra scrivendo nella finestra -k*y.

Al variare di k si osserva che le soluzioni sono oscillazioni di periodo T= 2p / Ö k .

3) Equazioni del tipo y'' = k

Evidentemente le soluzioni costituiscono un fascio di parabole tangenti ad una retta.

Analogamente è possibile costruire fasci di cubiche scrivendo un polinomio di primo grado

4) Equazione di Bessel di ordine zero y'' = -y' / x - y

Si scriverà -v/x-y posizionando il puntino iniziale nel punto (0,1) x e la tangente iniziale orizzontale si può rappresentare

la prima funzione di B.

5) Equazione di Bessel di ordine n y'' = -y'/x - y(1-n²/x²)

Possono essere risolte scrivendo -v/x-y*(1- k/x^2)

6) Equazione di Van der Pol. y''= -k(1-y²)-y

Si risolve cscrivendo -k*(1-y^2)-y e parametro

7) Equazione di Painlevé y''= 6 y²+x

1) Moto di caduta di un grave x''=0, y''= - 9.8

2) Moto di un grave con rimbalzo scrivere nelle finestrelle 0 -9.8-(y<0)*1000 si simula un urto elastico col terreno che corrisponde ad un rimbalzo.

3) Si possono fare altre varianti per esempio partendo dal secondo quadrante, per farla rimbalzare sull'asse y si può digitare

-(x>0)* 1000 -9.8-(y<0)*1000

4) Moto di un pianeta intorno al sole

Si scrivono nelle finestrelle -x*k/(x*x+y*y)^1.5 -y*k/(x*x+y*y)^1.5

Selezionando parametro e variando il valore di k si possono studiare le diverse traiettorie circolari, ellittiche, e osser

Paraboliche e iperboliche e osservare la validità delle legge di Keplero

5) Moto di una particella carica in un campo magnetico

Si scrive nelle celle -w v che rappresentano una versione semplificata delle formule di Lorentz

Si osserva che la traiettoria è circolare ( se così non fosse è necessario migliorare la precisione agendo sul tasto lento )e che il diametro è proporzionale alla velocità.

6) E' possibile studiare moti in altri tipi di campi di forze per esempio in un campo elastico digitando

Si osserva che la traiettoria è un ellisse con centro nell'origine.

7) Particolari moti stellati si possono osservare modificando l'intensità del campo di forze rispetto all'equazione del moto dei pianeti per esempio modificando l'esponente al denominatore nella formula

-x*k/(x*x+y*y) -y*k/(x*x+y*y) e azionando parametro, al variare di k si nota il fenomeno della precessione del semiasse maggiore dell'orbita.