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Meccanica Classica

(di Devis Masini)

La fisica classica affonda le sue radici nello studio della meccanica dei corpi. I corpi possono essere di due tipi :
  1. Punti materiali
  2. Corpi rigidi
I punti materiali sono schematizzati come punti geometrici in uno spazio euclideo tridimensionale. I corpi rigidi sono insiemi di punti materiali rigidamente distanziati tra loro, nel senso che rimangono costanti le distanze di un punto da ogni altro punto.

Lo studio della meccanica si divide in due grandi argomenti :

  1. La Cinematica
  2. La Dinamica
La Cinematica introduce le grandezze e le caratteristiche geometriche del moto, mentre la Dinamica le usa per spiegare come si evolve il moto di un corpo conseguentemente al verificarsi di un evento.
Un caso particolare della Dinamica e' la Statica, ovvero lo studio di come si comporta un corpo sottoposto a sollecitazione nulla.

Noi procederemo ad una esposizione veloce e succinta dei principali concetti della meccanica.

Cinematica :

Velocita' istantanea:


s(t) e' l'ascissa curvilinea ovvero la lunghezza del percorso eseguito dal punto sulla traiettoria a partire da un punto preso come origine. t e' il versore tangente alla traiettoria nell'istante considerato.

Accelerazione istantanea : Derivata nel tempo della velocita' istantanea.

r  e' il raggio di curvatura della traiettoria all'istante considerato, n e' il versore normale alla traiettoria rivolto verso l'interno della curvatura. Se chiamiamo con v(t) il modulo della velocita' istantanea e con a(t) la derivata temporale della velocita' istantanea si puo' scrivere :

a = a(t)t + ((v(t)*v(t))/r)n

e chiamiamo a(t) accelerazione tangenziale, mentre (v(t)*v(t))/r accelerazione centripeta. Notiamo che se la traiettoria e' rettilinea, non esiste accelerazione centripeta (r=oo).

Velocita' dei punti di un corpo rigido : La velocita' di ogni punto P di un corpo rigido e' ricavabile conoscendo almeno la velocita' di uno dei punti del corpo, e il movimento degli altri rispetto a tale punto :

Vo1 e' la velocita' istantanea del punto di riferimento, w e' la velocita' angolare del generico punto P rispetto ad O1, (P-O1) e' il vettore posizione di P rispetto al punto O1. Il simbolo X rappresenta il prodotto vettoriale.
Osserviamo che il movimento dei punti del corpo rispetto ad un'altro punto e' completamente individuato dalla velocita' angolare w e dalla posizione relativa. Questa e' una generalizzazione della velocita' istantanea del punto materiale, infatti se facciamo coincidere tutti i punti P con O1 otteniamo la sola velocita' O1. Per un corpo rigido e' allora possibile individuare due tipi di velocita' :

  1. la velocita' di traslazione Vo1
  2. la velocita' di rotazione W X (P - O1)
Leggi di composizione dei moti (moti relativi) :

Legge di composizione delle velocita' di un punto materiale :

la velocita' del punto nel sistema assoluto (fermo rispetto all'osservatore) e' esprimibile come composizione di due velocita' : quella che il punto possiede rispetto al sistema mobile detta relativa, e quella che possiederebbe se fosse rigidamente collegato al sistema mobile detta di trascinamento. In effetti e' utile notare che la velocita' di un punto di un corpo rigido puo' essere interpretata come la velocita' assoluta del punto che e' fermo rispetto al punto O1 (Vrel=0).

Legge di composizione delle accellerazioni di un punto materiale :

Oltre all'accelerazione relativa e di trascinamento compare qui anche l'accelerazione di coriolis che spunta fuori dalla derivazione temporale della velocita' si rotazione del sistema relativo. E' fondamentale far notare ora che se il sistema mobile si muove di moto rettilineo ed uniforme allora l'accelerazione di trascinamento e quella di coriolis sono nulle, per cui il punto materiale possiede la stessa accelerazione nei due diversi sistemi pur essendo diverse le due velocita' relative. Si dice che i due sistemi sono Inerziali tra loro, concetto fondamentale nella dinamica.
 

Dinamica :

Prima legge di Newton :

Un punto materiale permane nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, finche' un agente esterno non interviene a variare tale stato.

l'agente esterno e' chiamato Forza e la variazione che essa genera e' spiegata nella :
 

Seconda legge di Newton :

Un punto materiale fermo o in moto rettilineo uniforme sottoposto ad una forza F, assume una accelerazione a lungo la direzione e nel verso della forza, e di intensita' proporzionale all'intensita' della forza :

la costante di proporzionalita' m tra la forza applicata e l'accelerazione conseguente assunta dal punto e' la massa inerziale del punto ovvero e' una misura della tendenza che possiede il punto a permanere nel suo stato iniziale.
m e' definita positiva e nell'ambito della meccanica classica essa e' una invariante del corpo, quindi non dipende dalla velocita' di esso.
La seconda legge di Newton e' il perno di tutta la meccanica, in quanto consente di descrivere il movimento dei corpi partendo dalle cause che lo generano, mettendo in relazione una grandezza cinematica con una dinamica.

Quantita' di moto : poiche' a = dv/dt allora la seconda legge puo' essere scritta come :

F = d(mv)/dt

Si chiama quantita' di moto q il prodotto tra la massa del corpo e' la velocita' istantanea : q = mv
percio' possiamo dire che applicando una forza ad un corpo, si varia la sua quantita' di moto.

Forze notevoli : Esistono in meccanica alcuni tipi di forze notevoli che intervengono in molte applicazioni. Quelle principali sono la forza elastica, e la forza viscosa :

  • forza elastica : 
  • forza viscosa : 
k e' la costante d'elasticita', b la costante di viscosita'. Come vediamo tali due forze dipendono una dalla posizione del corpo r uno dalla sua velocita' v, esse sono forze costitutive nel senso che dipendono dal moto del punto a differenza delle cosiddette forzanti che sono indipendenti dal moto. Facendo uso di queste due forze nella seconda legge di Newton si ottiene un'equazione differenziale lineare del II ordine a coefficenti costanti, che senza l'introduzione di forzanti risulta omogene. La soluzione di tale equazione arricchita dalle condizioni iniziali rappresenta il moto di un corpo sottoposto alle due forze notevoli introdotte, conosciuto meglio come moto armonico smorzato di notevole importanza nel campo della fisica.

Equazione differenziale del moto armonico smorzato :

Terza legge di Newton :

Se un corpo esercita una forza su un secondo corpo allora il secondo corpo esercitera' sul primo una forza uguale e contraria, ovvero della stessa intensita' della prima, lungo la stessa direzione (congiungente dei due corpi), ma di verso opposto.

Tale legge e' nota anche col nome di principio di azione e reazione in quanto dice che se un corpo esercita un'azione su di un altro allora l'altro corpo esercitera' istantaneamente sul primo una reazione uguale e contraria.

Legge della Gravitazione Universale di Newton :

Forza che si esercita reciprocamente tra due punti materiali dotati di massa gravitazionale m1 e m2 e separati da una distanza r :

G e' la costante di gravitazione universale e vale , r12 e' il versore congiungente i due punti con verso che va da 1 a 2, per cui questa rappresentata e' la forza che il corpo 2 esercita sul corpo 1. Per la III legge di Newton il corpo 1 esercitera' su 2 una forza uguale e contraria a quella rappresentata.
Principio di equivalenza :
Doveroso e' precisare che le masse gravitazionali qui introdotte sono concettualmente diverse dalle masse inerziali coinvolte nella II Legge di Newton. Esiste pero' il cosiddetto principio di equivalenza indispensabile nella teoria della Relativita' Generale, il quale asserisce che massa inerziale e massa gravitazionale sono la stessa cosa. La forza gravitazionale puo' essere vista come un'azione di campo nel senso che un punto materiale genera attorno a se un campo (modificazione dello spazio dotata di particolari proprieta') con cui interagisce un secondo punto materiale. L'interazione esercitata si esplica tramite la forza gravitazionale.

Lavoro infinitesimo di una forza : Una forza che agendo su un corpo ne provoca uno spostamento compie un lavoro sul corpo. Considerando uno spostamento infinitesimo si ha che il lavoro infinitesimo compiuto dalla forza e':

il secondo passaggio e' conseguenza diretta della II Legge di Newton. Nell'ultima forma in cui puo' essere rappresentato il lavoro infinitesimo, dv2 sta per il differenziale del quadrato del modulo della velocita' istantanea.

Teorema di Koenig ed energia cinetica :

Tale teorema conseguenza diretta della II Legge di Newton e' di un'importanza fondamentale. Esso indica che il lavoro compiuto da una forza, su un corpo che si sposta lungo la traiettoria c di estremi a e b, e' dato dalla differenza tra i valori che una funzione scalare assume ai due estremi. Tale funzione scalare della velocita' del corpo si chiama Energia cinetica del corpo. Si puo' allora scivere :

L = T(b)- T(a)

T(x) = (1/2)mVx

Attenzione!!!!!!!! Il valore che l'energia cinetica assume in un punto della traiettoria, non e' univoco, in quanto dipende dalla velocita' del corpo in tale punto. Per meglio dire l'energia cinetica non e' funzione del punto geometrico in cui si trova il corpo. Tutto questo per dire che in generale il lavoro che la forza compie per spostare il corpo da un punto a ad un punto b e' diverso per ogni diversa traiettoria percorsa dal corpo per andare da a a b.
Quando invece succede che il lavoro e' lo stesso per tutte le diverse traiettorie seguite, allora significa che la forza e' conservativa e il lavoro compiuto da tale forza dipende univocamente dalla posizione degli estremi della traiettoria.

Energia potenziale :

Se una forza e' conservativa il lavoro che essa compie per spostare un corpo da un punto a ad un punto b e' uguale alla differenza tra i valori che una funzione scalare del punto,  assume in a e in b:

L = U(a) - U(b)

Il teorema di Koenig e' valido sempre, mentre questo vale solo per forze conservative. La funzione del punto U(x) e' detta Energia potenziale, e come l'Energia cinetica rappresenta una misura della capacita' di compiere un lavoro. La forza gravitazionale e' conservativa, per cui in un campo gravitazionale e' definibile una energia potenziale. Il lavoro che la forza gravitazionale compie per spostare un corpo da un punto ad un'altro dello spazio, e' dato dalla differenza di energia potenziale tra i due punti.

Principio di conservazione dell'energia :

Come gia' visto se una forza e' conservativa vale L = U(a) - U(b). Siccome vale sempre il teorema di Koenig L = T(b)- T(a)allora si ha :

per forze conservative T(a) + U(a) = T(b) + U(b)

chiamata Energia meccanica la quantita' E = T(x) + U(x) possiamo affermare che un corpo che si muove sotto l'azione di una forza conservativa mantiene invariata la sua energia meccanica.

Da tutti i discorsi fatti possiamo dedurre che in un campo gravitazionale l'energia meccanica di un corpo e' costante. E' costante anche l'energia di un corpo che si muove sotto l'azione di una forza elastica, essendo anche questa conservativa. Sia la forza gravitazionale che quella elastica sono forze centrali, nel senso che sono dirette sempre verso uno stesso punto, detto centro del moto. Il moto circolare e' un moto causato da una forza centrale, cosi' come il moto di un pianeta intorno al sole che e' ellittico ed e' causato dalla forza di gravita' che il sole esercita sulla terra. Stesso discorso vale per qualsiasi corpo che si muove sotto la sola azione della forza gravitazionale terrestre (forza peso), come un sasso che cade dopo essere stato lanciato, o un satellite naturale (luna) o artificiale (meteosat) che orbita attorno alla terra.

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